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Argomenti di indispensabilità in filosofia della matematica

di Andrea Sereni
04.12.2009

Supponiamo che vi siano teorie scientifiche vere, o comunque ben confermate, e che certe teorie matematiche risultino indispensabili, in qualche modo da specificare, per queste teorie scientifiche. Se assumiamo che queste teorie scientifiche possano essere vere (o confermate) solo a condizione che siano vere (o confermate) le teorie matematiche cui esse ricorrono in maniera indispensabile, dobbiamo concludere che anche queste ultime sono vere, o almeno confermate. Se inoltre crediamo che le teorie matematiche in questione parlino di un dominio di oggetti, e che possano essere vere (o confermate) solo a condizione che questi oggetti esistano (o che sia giustificato ritenere che esistano), dobbiamo concludere che questi oggetti esistono (o che è giustificato ritenere che esistano). Questa è l'idea fondamentale alla base dell'argomento di indispensabilità, inizialmente suggerito da Quine e Putnam, e attualmente oggetto di un vasto dibattito. L'argomento, apparentemente semplice, si basa in realtà su una serie di assunzioni discutibili, e fa appello a nozioni controverse. Anche per questo, diverse sue versioni possono essere formulate e discusse.


Uno dei problemi più dibattuti in filosofia della matematica riguarda l'esistenza e la natura degli oggetti matematici (numeri, insiemi, funzioni, gruppi, ecc.) su cui le nostre teorie matematiche sembrano vertere. Salvo in alcuni casi (per es. Mill [1843], Maddy [1990a, b]), c'è consenso sul fatto che, se esistono, gli oggetti matematici sono oggetti astratti, cioè oggetti privi di collocazione spazio-temporale e privi di efficacia causale (sulla nozione di oggetto astratto, cfr. Hale [1987], Dummett [1973, cap. 14]). Il platonismo matematico (il nome rimanda per analogia a posizioni sostenute da Platone) è la tesi secondo cui esistono oggetti matematici astratti, su cui le teorie matematiche vertono. Il nominalismo matematico è la tesi secondo cui non esistono oggetti matematici astratti. Il nominalista sosterrà o che gli oggetti matematici sono in realtà oggetti concreti, oppure che non esistono oggetti matematici. Solitamente un nominalista ammetterà solamente l'esistenza di oggetti concreti (spazio-temporalmente collocati e/o dotati di efficacia causale), anche se è possibile essere nominalisti sugli oggetti matematici e ritenere che esistano oggetti astratti diversi dagli oggetti matematici. Di quali tipi di oggetti il nominalista ammette l'esistenza dipenderà dalla specifica versione di nominalismo adottata.

Il platonista fronteggia un difficile dilemma (Benacerraf [1973]): è in grado di rendere conto in maniera intuitiva del significato di asserti matematici, ma deve spiegare come sia affatto possibile per gli esseri umani avere conoscenza di oggetti astratti (il cosiddetto problema dell'accesso, che il nominalista ritiene ragione principale della propria posizione). Anche per aggirare questo problema, gli argomenti per il platonismo sono spesso costretti a partire da premesse che il nominalista trova discutibili tanto quanto la stessa tesi platonista. L'argomento di indispensabilità (d'ora in poi AI) è considerato uno dei più efficaci a disposizione del platonista proprio perché si basa su premesse che sembrano perfettamente accettabili per il nominalista e indipendenti dalla considerazione della natura degli oggetti matematici, quali la semplice constatazione che le teorie matematiche sono comunemente impiegate nelle nostre teorie scientifiche. Se non si può fare a meno di impiegare tali teorie matematiche in teorie scientifiche che riteniamo siano vere, o quantomeno confermate dall'evidenza empirica, allora – prosegue l'argomento – non possiamo non ritenere vere, o quantomeno confermate, anche le teorie matematiche in questione, e quindi – sotto opportune condizioni – non ritenere che esistano gli oggetti di cui esse trattano.Dietro a questo semplice ragionamento si nasconde una serie complessa di assunzioni, ciascuna delle quali può essere separatamente messa in dubbio, non solo da un nominalista.

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